ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА. ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ГОСТ 11.004-74

Издание официальное

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СТАНДАРТОВ СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР

Москва

РАЗРАБОТАН Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор д-р экон. наук, проф. Гличев А. В.

Научный руководитель темы д-р техн. наук, проф. Шор Я. Б.

Исполнители: канд. техн. наук Рабинович Г. О., канд. техн. наук Примаков М. И._г Пахомов А. А., Пославский О. Ф., Аничкина В. Л._г Левина Н. Б.

ВНЕСЕН И ПОДГОТОВЛЕН К УТВЕРЖДЕНИЮ Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор д-р экон. наук, проф. Гличев А. В.

УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 21 февраля 1974 г. № 468

ГОСТ 11.004-74 Стр. 9

Продолжение

односторонней доверительной вероятности 7

Стр. 12

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 к ГОСТ 11.004-74 Справочное

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ СТАНДАРТА

Пример 1. Ресурс изделий до капитального ремонта распределен нормально. Имеется опытный статистический материал по ресурсам л=10 изделий, приведенный в табл. 1 данного приложения. Найти оценки для среднего ресурса а и среднего квадратического отклонения о.

Решение. Определяем

ю

У]л:,=78,5-10⁴ (ч).

1= I

Согласно формуле (1) находим оценку для среднего ресурса *= — • 78,5-10* = 7,85-10* (ч).

Определяем

ю

ху = 2,025 • 108.

i= 1

Согласно формуле (3) находим

5 = j/ -~j--2,025-108=0,47-10⁴ (ч).

Из табл. 1 стандарта для К—п—1 = 10—1=9 находим М_к =1,028, откуда согласно формуле (2) получаем несмещенную оценку для а:

Sj= 1,028-0,47* 10*=0,48-10⁴ (ч).

Пример 2. Пусть имеется 60 наблюдений над нормально распределенной случайной величиной X. Результаты наблюдений приведены в табл. 2.

Найти оценки х и S для параметров нормального распределения а и а.

Стр. 13

Решение.

1-й способ. Определяем 2 ^Х1 ^⁴⁴⁴>°- Согласно формуле (1) имеем:

— ' —444^0— 60

60

Определяем 2 {Xi—x)²=58,01. Согласно формуле (5) имеем:

52 = ~ .58,01=0,98.

59

Несмещенная оценка для среднего квадратического отклонения будет равна

S_X=M_K ■ Ко^98 = 1,004 .]/о,98 « 1,0.

2-й способ (метод группировки). Разбиваем диапазон наблюденных значений случайной величины X на интервалы одинаковой ширины и подсчитаем количество наблюдений пи приходящихся на i-й интервал. Определяем середину Vi i-го интервала. Результаты группировки приведены в табл. 3. Наблюденные значения, находящиеся на границе интервала, включались в правый интервал.

Стр. 14

Вычисляем оценку генерального среднего по формуле

т

где п— ^ ⁿi — общее число наблюдений, т — число интервалов.

i-1

У —    (5,25+3-5,75 +5-6,25+7-6,75+10-7,25+14-7,75+-10 *8,25+

60

+ 6-8,75+3-9,25+9,75)=7,6.

Вычисляем оценку генерального среднего квадратического отклонения по формуле

В нашем случае

^s=]/ —-2^ra^-⁷-^6)2wl-°-1

Несмещенная оценка для а согласно формуле (2) и табл. 1 стандарта буле'г равна:

$, = 1,004-1,0*1,0.

Пример 3. Используя данные примера 1 определить нижнюю и верхнюю доверительные границы для среднего ресурса при односторонней доверительной вероятности у—0,95.

Решение. Согласно пп. 2.1 и 2.2 для К—п—1 = 10—1=9 и у=0,95 находим = 1,833.

По уравнениям (7) и (8) находим:

1 833

а„-7,85-10* — -^г ■ 0,48-10* =7,57 - 10* (ч).

V    ю

1 833

а_в= 7,85-10* + -^-0,48-10* = 8,13 - 10* (ч).

V    10

результат получается если по табл. 3 стандарта найдем =0,580 и воспользуемся этим значением в формулах (7) и (8).

Нижняя а_н = 7,57*10⁴ ч и верхняя а_в=8,13-10⁴ ч доверительные границы образуют доверительный интервал при двусторонней доверительной вероятности у*=0,9О, согласно формуле (9).

Пример 4. Используя данные примера 2, вычислить доверительный интервал для генерального среднего при двусторонней доверительной вероятности у*=0»99.

Стр. 15

Решение. Задаем односторонние доверительные вероятности Yi⁼Y2=Y~0»995, удовлетворяющие соотношению (9). Так как для /С=л—1=59 в табл. 2 стандарта значения /_т (К) нет, то значение /₀,995 (59) вычислим, используя линейную интерполяцию по 1//С. В табл. 2 стандарта находим ближайшие к 59 значения /Со=55 и /Ci—60 и соответствующие им значения /0,995(55) =2,668 и /0,995(66) =2,660. Согласно формуле (15) приложения 2 имеем:

11 11

59    60    55    59

<0,995(59)= --—    -2,668+    —-р 2,660 = 2,661.

~55~    ~60~    ~55~    ~60"

Согласно разд. 2 находим:

«Н=7,^-—=: • 1,0 = 7,1;

VW

*.=7,4+^—1,0 = 7,7.

у1ю

Пример 5. Распределение размера подчиняется нормальному распределению. Результаты измерения четырех деталей из партии следующие: 14,82; 14,83; 14,79; 14,76 (мм). Найти доверительный интервал для среднего размера деталей в партии при двусторонней доверительной вероятности у*=0,99, если известно, что среднее квадратическое отклонение о равно 0,04 мм.

Решение. Так как известно, что <7=0,04 мм, то согласно разд. 3

1 +7*

находим доверительные границы для среднего размера при у=—— =0,995, где

Y=0,995 получено согласно формуле (13).

По формулам (14) и (15) разд. 3 имеем:

О WA

д„=14,80 — —— . 0,04= 14,75;

О

а_в=14,80 + -^L^— . 0,04 = 14,85,

где значение 14,80 получено согласно формуле (1) разд. 1.

Пример 6. Для данных примера 2 найти доверительный интервал для среднего квадратического отклонения о при двусторонней доверительной вероятности Y* = 0,95.

Решение.

Согласно разд. 4 задаем равные односторонние вероятности Yi⁼Y2=Y- Тогда согласно формуле (13) имеем у=0,975.

Вычисляем выборочную характеристику 5 = 1,0 (см. пример 2). Так как для /С=ц—1=59 значения Z_H и Z_B не приведены в табл. 4 и 5 стандарта, то вычисляем их с помощью линейной интерполяции по К согласно формуле (17) приложения 2.

Вычислим значение Z_H) соответствующее значению у=0,975 и /С=59. Из табл. 4 находим значения /С_о=50 и 7(i = 60 и соответствующие им значения Zg=0,837 и Zj = 0,849.

Согласно формуле (17) приложения 2 находим

Стр. 17

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 к ГОСТ 11.004-74 Справочное

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

СТАНДАРТА

Непрерывная случайная величина X, принимающая значения от — оо до + оо» называется нормально распределенной, если ее плотность вероятности определяется равенством

для любого значения л:(—оо<*<оо), где а и а числовые параметры распределения, причем а — положительно.

Параметр а является генеральной средней (математическим ожиданием) случайной величины X. Параметр а является генеральным средним квадратическим отклонением случайной величины X. а² — генеральная дисперсия случайной величины.

Для заданной вероятности уь по конечной совокупности наблюденных значений хи *2,. * м х_п случайной величины X может быть найдена случайная величина а_н такая, что интервал от а_н до +оо накрывает генеральную среднюю а с вероятностью уь

Вер {а > а») = _Yi-    (2)

Величина а_н называется нижней доверительной границей для генеральной средней а при односторонней доверительной вероятности уь

Для заданной вероятности у₂ по конечной совокупности наблюдений хи х₂,...» х_п случайной величины X может быть получена случайная величина а_в, такая, что интервал от —оо до а_в накрывает генеральную среднюю а с вероятностью

Вер {а<я_в} = у₂.    (3)

Величина а_в называется верхней доверительной границей для генеральной средней при односторонней доверительной вероятности у₂.

Нижняя а_н и верхняя а_в доверительные границы, определенные в п. 3.4, образуют доверительный интервал, который с вероятностью у* накрывает неизвестное значение генеральной средней а (см. чертеж).

а

Вер {я_н < а < я_в} = Y*.    (⁴>

где у*, У1 и у₂ связаны соотношением (9).

Аналогично определяются доверительные границы и доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения.

УДК 658.562.012.7(083.96)1083.741    Группа    Т59

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА. ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Applied Statistics. Estimation of Values and Confidence Intervals for Normal Distribution Parameters

Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 21 февраля 1974 г. № 468 срок введения установлен

с 01.07. 1975 г.

Настоящий стандарт устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения по совокупности статистических (опытных) независимых наблюдений, полученных на производстве в процессе измерений, испытаний и анализов, если исследуемые величины подчиняются закону нормального распределения.

Стандарт содержит два справочных приложения, в которых приводятся примеры практического применения правил, основные понятия, обозначения и теоретические основы стандарта.

1. ОЦЕНКИ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. Несмещенной оценкой для генерального среднего а нормального распределения является выборочное среднее х, определяемое по формуле

х= — Vjc    (1)

^ai=t

где х_и х₂,..., х_п — совокупность наблюденных значений случайной величины X.

1.2. Несмещенная оценка для среднего квадратического отклонения о определяется по формуле

S_t = M_K    (2)

©Издательство стандартов, 1974

Стр. 2 ГОСТ 11.004-74

где значение 5 определяется по формуле (3), если параметр а — неизвестен

^se/_BTri^(x'"^    ^(з)

I

и значение 5 определяется по формуле (4), если параметр а — известен

^s=V т^Е(х‘-^а)2-    ⁽⁴⁾

Значение коэффициента М_к дано в табл. 1, где К=п—1, если параметр а неизвестен, К = п, если параметр а известен.

1.3.    При значениях объема выборок более 60 (/г>60) оценка для среднего квадратического отклонения о находится по формуле (3), если параметр а — неизвестен или по формуле (4), если параметр а — известен.

1.4.    Несмещенной оценкой для дисперсии а² нормального распределения, при неизвестном значении а, является выборочная характеристика S², определяемая по формуле (5)

(5)

1.5. Если генеральное среднее а нормального распределения известно, то несмещенная оценка для дисперсии а² находится по формуле (6)

£2₌±_Е(х i-a)\    (6)

П

Примечание. Когда количество наблюдений случайной величины достаточно большое (не менее 50), то оценки х, 5, S² могут быть получены методом группировки наблюдений (см. приложение 1, пример 2).

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИИ

2.1. Определение нижней доверительной границы а_н для генеральной средней по выборке объема п осуществляется следующим образом:

задают значение односторонней доверительной вероятности уь определяют выборочные значения х и S согласно разд. 1; по заданным значениям yi и К = п—1 по табл. 2 находят значение t_b —квантиль распределения Стьюдента для односторонней доверительной вероятности уь

ГОСТ 11.004-74 Стр. 3

вычисляют нижнюю доверительную границу а_н ной средней по формуле

При 1 <п^61 значение величины —^ входящее в формулу (7),

У п

может быть найдено из табл. 3 (см. приложение 1, пример 3).

2.2. Определение верхней доверительной границы для генеральной средней по выборке объемом п осуществляется следующим образом:

задают значение односторонней доверительной вероятности уа; определяют выборочные значения х и S согласно разд. 1; по заданным значениям уг Ц К=п—1 по табл. 2 находят значение t _Та;

вычисляют верхнюю доверительную границу а_в по формуле

а_в=х +—(8)

V п

f_T

При 1 <п <61 значение ■ —, входящее в формулу (8), может У п

быть найдено из табл. 3 (см. приложение 1, пример 3).

2.3. Нижняя и верхняя доверительные границы а_н и а_в, получаемые согласно пп. 2.1 и 2.2, образуют доверительный интервал для генеральной средней при двусторонней доверительной вероятности у*, где у* определяется по формуле

T* = Yi + T2-1    (9)

при условии, что Yi>0>5; Y2>0,5.

2.4. Если принята двусторонняя доверительная вероятность у* и задано равенство односторонних вероятностей yi⁼Y2=Y» то доверительный интервал для генерального среднего а находится по формулам:

а_н — х — е,    (10)

а_в =Гх + е,    (11)

значение у находится по формуле

I±Y_* * 2

и / _т находится из табл. 2 по заданным значениям у и К=п—1,

Стр. 4 ГОСТ 11.004-74

2.5.    Значения t _т для величин К> которые не указаны в табл. 2_Г

могут быть получены путем линейной интерполяции по    [см.

К

приложение 2, формулы (15), (16)].

2.6.    В случае, когда генеральная дисперсия неизвестна, но известен ее верхний предел, то при малом объеме выборки дисперсия может быть приравнена ее верхнему пределу и расчет доверительных границ для генерального среднего а осуществлен согласно разд. 3.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИИ

3.1.    Определение нижней доверительной границы для генеральной средней по совокупности наблюдений х_и х₂,. „., х_п случайной величины X осуществляется следующим образом:

задают значение односторонней доверительной вероятности уь вычисляют выборочную среднюю х согласно разд. 1; по заданному значению уь из последней строки табл. 2 находят значение U_b —квантиль нормального распределения; вычисляют нижнюю доверительную границу по формуле

U_r

а„ — х — ~f=’.    (14)

У п

3.2.    Определение верхней доверительной границы для генеральной средней по совокупности наблюдений х_и х₂,..., х_п случайной величины X осуществляется следующим образом:

задают значение односторонней доверительной вероятности у₂; вычисляют выборочную среднюю х согласно разд. 1; по заданному значению у₂ из последней строки табл. 2 находят значение U_Та —квантиль нормального распределения; вычисляют верхнюю доверительную границу по формуле

а_в=х+—=го.    (15)

У п

3.3.    Нижняя и верхняя доверительные границы а_п и а_в, определенные согласно пп. 3.1, 3.2, образуют доверительный интервал для генерального среднего при двусторонней доверительной вероятности у*, где у* определяется через yi и у₂ по формуле (9).

3.4.    Если принята двусторонняя доверительная вероятность у* и задано равенство односторонних доверительных вероятностей

ГОСТ 11.004-74 Стр. 5

Yi =72 —V» ^то доверительный интервал, соответствующей двусторонней доверительной вероятности у*> находится по формулам:

а_н=х~е,    (16)

#В = X + S,

£/- о е= —i—,

Vn

где у находится по формуле (13), а значение U находится па заданному значению у из последней строки табл. 2.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ

4.1.    Определение нижней доверительной границы сг_н для среднего квадратического отклонения а по выборке объема п осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность уь вычисляют выборочную характеристику 5 согласно разд. 1; по заданным значениям Yi и К=п—1 (/(^100) из табл. 4 находят значение Z_Ir;

вычисляют нижнюю доверительную границу по формуле

a_H = Z_H.S.    (19)

При К> 100 значение Z_H определяется по формуле

----. (20)

У2К~1+и_ъ

где U находится по заданному значению yi из последней строки табл. 2.

4.2.    Определение верхней доверительной границы а_в для сред* него квадратического отклонения а по выборке объема п осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность у₂\ вычисляют выборочную характеристику 5 согласно разд. I; по заданным значениям у₂ и К=п—1 (Л^100) из табл. 5 находят значение Z_B;

вычисляют верхнюю доверительную границу о_в по формуле

a_B = Z_B-5.    (21)

Стр. 6 ГОСТ 11.004-74

При /(>100 значение Z_B определяется по формуле

7    У2К

- - »

У2К-\-и_ъ

где U находится по заданному значению у₂ из последней строки табл. 2.

4.3.    Нижняя и верхняя доверительные границы сг_н и а_в, полученные согласно пп. 4.1 и 4.2, образуют доверительный интервал для среднего квадратического отклонения а при двусторонней доверительной вероятности у*, где у* связано со значениями yi и у₂ соотношением (9).

4.4.    Доверительные границы для дисперсии а² равняются квадратам доверительных границ для среднего квадратического отклонения, определенных согласно пп. 4.1, 4.2, 4.3, 4.4.

4.5.    Значения Z_H и Z_B, которые не указаны в табл. 4 и 5, могут быть получены линейной интерполяцией по К [см. приложение 2, формула (17)].

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ

5.1.    Определение нижней доверительной границы а_п для среднего квадратического отклонения а при известной генеральной средней осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность уj;

вычисляют выборочную характеристику S согласно разд. 1;

по заданным значениям yi и К = п из табл. 4 находят значение Z_H;

вычисляют нижнюю доверительную границу по формуле (19);

при /(>100 значение Z_H вычисляют по формуле (20).

5.2.    Определение верхней доверительной границы а_в для среднего квадратического отклонения а при известной генеральной средней осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность у₂;

вычисляют выборочную характеристику 5 согласно разд. 1;

по заданным значениям у₂ и К=п из табл. 5 находят значение Z_B;

вычисляют верхнюю доверительную границу по формуле (21).

При /(>100 значение Z_B определяют по формуле (22).

5.3.    Нижняя и верхняя доверительные границы а_н и сг_в, полученные согласно пп. 5.1, 5.2, образуют доверительный интервал для среднего квадратического отклонения о при двусторонней до-

ГОСТ 11.004—74 Стр. 7

верительной вероятности у*, где у*, Yi ^и Уг связаны соотношением (9).

5.4.    Доверительные границы для дисперсии о² равняются квадратам доверительных границ для среднего квадратического отклонения, полученных согласно пп. 5.1, 5.2, 5.3.

5.5.    Значения Z_B и Z_B, которые не указаны в табл. 4 и 5, могут быть получены линейной интерполяцией по К (см. приложение 2).

Стр. 8 ГОСТ 11.004-74

Продолжение